设f(x+y)=f(x)f(y),f(x)=1+x×g(x),limg(x)=1且x→0证明f(x)在R上处处可导,且f’(x)=f(x)

Question

设f(x+y)=f(x)f(y),f(x)=1+x×g(x) ,limg(x)=1 且x→0 证明f(x)在R上处处可导,且f’(x)=f(x)

Answer 1

显然f(0)=1.由于lim 【f(x)－f(0)】/(x－0）＝lim g(x)=1,于是f'(0)=1.即f(x)在x＝0可导.
在任意一点x0,当y趋于0时,有
lim 【f(x0+y)－f(x0)】/y=lim 【f(x0)f(y)－f(x0)】/y＝f(x0)*lim 【f(y)－f(0)】/y＝f(x0)
上式即为f'(x0)=f(x0).