如图，设P0是抛物线y=x2上一点，且在第一象限．过点P0作抛物线的切线，交x轴于Q1点，过Q1点作x轴的垂线，交抛物线于P1点，此时就称P0确定了P1．依此类推，可由P1确定P2，…．记Pn（xn，yn）

Question

如图，设P₀是抛物线y=x²上一点，且在第一象限．过点P₀作抛物线的切线，交x轴于Q₁点，过Q₁点作x轴的垂线，交抛物线于P₁点，此时就称P₀确定了P₁．依此类推，可由P₁确定P₂，…．记P_n（x_n，y_n），n=0，1，2，…．给出下列三个结论：
①x_n＞0；
②数列{x_n}为单调递减数列；
③对于∀n∈N，∃x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
其中所有正确结论的序号为______．

Answer 1

记P_n（x_n，y_n），则
∵抛物线y=x²，∴y′=2x，
∴过点P_n作抛物线的切线方程为y−xn2＝2xn(x−xn)，即y＝2xnx−xn2
令y=0，则0＝2xnxn+1−xn2，∴xn+1＝(1)/(2)xn
∴数列{x_n}为公比为(1)/(2)的等比数列
∵P₀是抛物线y=x²上一点，且在第一象限，
∴x_n＞0；数列{x_n}为单调递减数列；
y₀+y₁+y₂+…+y_n=x02+x12+…+xn2=(x02•[1−((1)/(4))n])/(1−(1)/(4))
∴0＜x₀＜(√(6))/(2)时，y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
∴∃x₀＞1，使得y₀+y₁+y₂+…+y_n＜2．
故正确结论的序号为①②③
故答案为：①②③．