设a,b为不等于1的正数,并且实数x,y,z满足关系式1/x+1/y=1/z（1）当a^x=b^y时,求证：a^x=(ab)^z（2）当a^x=(ab)^z时,求证：b^y=(ab)^z

Question

设a,b为不等于1的正数,并且实数x,y,z满足关系式1/x+1/y=1/z
（1）当a^x=b^y时,求证：a^x=(ab)^z
（2）当a^x=(ab)^z时,求证：b^y=(ab)^z

Answer 1

(1) a^x=b^y
取对数xlna=ylnb
所以1/y=lnb/(xlna)
即1/z=1/x+1/y=1/x+lnb/(xlna)
去分母 xlna=z(lna+lnb)=zln(ab)
lna x=ln(ab) z
所以a^x=(ab)^z
(2) a^x=(ab)^z
取对数xlna=zln(ab)
x=zln(ab)/lna
即1/z=1/x+1/y=lna/[zln(ab)]+1/y
去分母yln(ab)=ylna+zln(ab)
ylna+ylnb-ylna=zln(ab)
ylnb=zln(ab)
lnb y=ln(ab) z
所以b^y=(ab)^z