如图，A，B，C，H四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，A，B，C三人围成一个三角形，B，H，C三人共线，H在B，C两人之间．B，C两人相距20m，A，H两人相距hm，AH与BC垂直．（1）当h=10时，求

Question

如图，A，B，C，H四个小朋友在草坪上游戏，根据游戏规则，A，B，C三人围成一个三角形，B，H，C三人共线，H在B，C两人之间．B，C两人相距20m，A，H两人相距hm，AH与BC垂直．
（1）当h=10时，求A看B，C两人视角的最大值；
（2）当A在某位置时，此时B看A，C视角是C看A，B视角的2倍，求h的取值范围．

Answer 1

（1）设CH=x，∴BH=20-x，x∈（0，20），tan∠CAH=(x)/(10)，
1°、当1-(20−x)/(10)•(x)/(10)=0，即x=10时，此时∠BAH=∠CAH=45°，
∴∠BAC=90°；
2°、当1-(20−x)/(10)•(x)/(10)≠0，即x≠10时，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH）=((20−x)/(10)+(x)/(10))/(1−(20−x)/(10)•(x)/(10))=(200)/((x−10)2)＞0，
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC＜90°，
综上：AH=BH=10时，最大视角是90°；
（2）∵tan∠ABH=(h)/(20−x)，tan∠ACH=(h)/(x)，
∴tan∠ABH=tan2∠ACH，
∴(h)/(20−x)=(2•(h)/(x))/(1−((h)/(x))2)，即h²=3x²-80x+400=（3x-20）（x-20），
∵x∈（0，20）时，h²∈（0，400），
∴h∈（0，20）．