已知椭圆x²/6+y²/2=1,直线l过点(3,0）且交椭圆与P,Q两点.若向量OP垂直向量OQ,求直线L的方程.我的解法是：设P（x0,y0）,Q（x1,y1）,直线L：y=k（x-3）把P、Q坐标带入椭圆方程后相减得：x0²-

Question

已知椭圆x²/6+y²/2=1,直线l过点(3,0）且交椭圆与P,Q两点.若向量OP垂直向量OQ,求直线L的方程.
我的解法是：设P（x0,y0）,Q（x1,y1）,直线L：y=k（x-3）
把P、Q坐标带入椭圆方程后相减得：
x0²-x1²+3（y0²-y1²）=0
除以x0²-x1²
1+3（y0+y1)(y0-y1)/(x0+x1)(x0-x1)=0
1+3k(y0+y1)/(x0+x1)=0
然后把直线方程和椭圆方程联立,得到关于x的二次方程.用韦达定理用k表示出（y0+y1）和（x0+x1）代入上式.
结果发现k²是负数,无解.而且这个方法也没有用到两个向量垂直的条件.
Q1请问这方法哪里错了?

Answer 1

有错误
联立直线方程和椭圆方程得
(3k²+1)x²-18k²x+27k²-6=0
x1+x0=18k²/(3k²+1)
y1+y0=k(x1-3)+k(x0-3)=k(x1+x0-6)=k[18k²/(3k²+1) - 6]= -6k/(3k²+1)
(y0+y1)/(x0+x1)= -6k/18k²= -1/(3k)
1+3k(y0+y1)/(x0+x1)= 1+3k*[-1/(3k)]=1-1=0
上式是恒等式,解不出来的,不知道你怎么解出负的,其实你在把两式相减的时候,用k表示(y1-y0)/(x1-x0)时已经相当于联立直线与椭圆了,后面又联立一次,重复了,所以得到的是恒等式.
应该这样写
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,直线L：y=k（x-3）
联立直线方程和椭圆方程得
(3k²+1)x²-18k²x+27k²-6=0
向量垂直
∴x1x2+y1y2=0
然后根据韦达定理用k表示x1x2
根据y1y2=k(x1-3) * k(x2-3)=k²[x1x2-3(x1+x2)+9],用k表示y1y2
然后求出k