（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形,试证明你的结论．

Question

（1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）过点E作EF∥DC,交BC于点F,请你连接AF,并判断△AEF是怎样的三角形,试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据已知等边三角形的性质可推出△ADG是等边三角形,从而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；
（2）连接AF,由已知可得四边形EFCD是平行四边形,从而得到EF=CD,∠DEF=∠DCF,由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD,∠AED=∠ACD,从而可得到EF=AE,∠AEF=60°,所以△AEF为等边三角形．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵EG∥BC,
∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°．
∴△ADG是等边三角形．
∴AD=DG=AG．
∵DE=DB,
∴EG=AB．
∴GE=AC．
∵EG=AB=CA,
∴∠AGE=∠DAC=60°,AG=DA,
∴△AGE≌△DAC．
△AEF为等边三角形．
证明：如图,连接AF,
∵DG∥BC,EF∥DC,
∴四边形EFCD是平行四边形,
∴EF=CD,∠DEF=∠DCF,
由（1）知△AGE≌△DAC,
∴AE=CD,∠AED=∠ACD．
∵EF=CD=AE,∠AED+∠DEF=∠ACD+∠DCB=60°,
∴△AEF为等边三角形．