在平行四边形ABCD中,∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF,EC,N,P分别为EC,BC的中点,连接NP.（1）如图①,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关

Question

在平行四边形ABCD中,∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF,EC,N,P分别为EC,BC的中点,连接NP.
（1）如图①,若点E在DP上 ,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系,请直接写出你的结论；（2）如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在（1）中的结论仍然成立,写出你确定的点M的位置,并证明在（1）中得到的结论.

Answer 1

（1） 由已知条件,得∠EDM=∠FDM,  ∵M为EF边的中点,线段MN、PN分别为直角△EMC、直角△EPC的斜边中线,∴∠MNP=2∠DCB=1800-∠ABD,PN=MN
2）点M是线段EF的中点
            分别连接BE、CF.

           ∵ 四边形ABCD是平行四边形,

           ∴ AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB,
           ∴∠ABD=∠BDC.
           ∵ ∠A=∠DBC,
           ∴ ∠DBC=∠DCB.
           ∴ DB=DC.   ①
           ∵∠EDF =∠ABD,
∴∠EDF =∠BDC.
           ∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .
即∠BDE =∠CDF.   ②     
           又 DE=DF,  ③
           由①②③得△BDE≌△CDF.    
           ∴ EB=FC, ∠1=∠2.
∵ N、P分别为EC、BC的中点,
           ∴NP∥EB, NP=.½EB
           同理可得 MN∥FC,MN=½FC


∴ NP = NM.            
∵ NP∥EB,
∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC,
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
           ∴ ∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4
 =∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD. 
           ∴  ∠ABD +∠MNP =180°.