已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=4，（1）求过点P（3，4）的圆的切线方程；（2）若过点Q（2，3）的直线与圆交于A，B两点，且点Q恰为弦AB的中点，求△AOB的面积．

Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=4，
（1）求过点P（3，4）的圆的切线方程；
（2）若过点Q（2，3）的直线与圆交于A，B两点，且点Q恰为弦AB的中点，求△AOB的面积．

Answer 1

（1）∵|PC|＝√((3−1)2+(4−2)2)＞2
∴点P在圆外，∴过点P的切线有两条，…（2分）
∴当切线斜率不存在时，切线方程为：x=3，满足已知条件； …（4分）
当切线斜率存在时，设斜率为k，则切线方程为：y-4=k（x-3），
∴d＝(|k−2+4−3k|)/(√(k2+1))＝2，解得：k=0，
∴切线方程为：y=4．
综上：过点P的切线方程为：x=3或y=4…（6分）
（2）∵点Q恰为弦AB的中点，∴kAB＝−(1)/(kCQ)＝−1，
∴l_AB：y-3=-（x-2）…（8分）
∴点O到直线AB的距离d＝(5)/(√(2))…（10分）
又∵|AB|＝2√(2)，…（11分）
∴S△AOB＝(1)/(2)|AB|•d＝(1)/(2)×2√(2)×(5)/(√(2))＝5…（13分）