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已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆上.(I)求椭圆C的方程；(II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A,B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形.
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| 已知椭圆C:  (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆 上.(I)求椭圆C的方程； (II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形. |
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答案和解析
| 已知椭圆C:  (a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆 上.(I)求椭圆C的方程； (II)若斜率为k的直线过点M(2,0),且与椭圆C相交于A, B两点.试探讨k为何值时,三角形OAB为直角三角形. |
| (I)  (II) |
| 试题分析：(I)由已知可得b=c=1，再由a 2 =b 2 +c 2 ，解出a即可. (II)设A（x 1 ，y 1 ），B(x 2 ，y 2 )，直线AB的方程为y=k（x-2），代入椭圆 中，得到关于x的一元二次方程，由判别式求出k的取值范围，和用k表示的x 1 +x 2 ，x 1 x 2 的表达式，然后分以O或A或B为直角顶点，根据向量垂直的坐标表示的充要条件列出关于k的方程，求解即可.试题解析：(Ⅰ)   ，所以椭圆方程为 (Ⅱ)由已知直线AB的斜率存在,设AB的方程为:  由  得 ,得:  ,即 设  ,  (1)若  为直角顶点,则 ,即 ,   ,所以上式可整理得,  ,解,得 ,满足 (2)若  为直角顶点,不妨设以 为直角顶点, ,则 满足:  ,解得 ,代入椭圆方程,整理得,  解得,  ,满足  时,三角形 为直角三角形 |
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