点D在△ABC的边BC上,DE//AC,DF//AB,BC=5(1)当S四边形AEDF：S△ABC=2：5时,求BD的长（2）若AC=跟好2AB,且DF经过△ABC的重心,求EF的长

Question

点D在△ABC的边BC上,DE//AC,DF//AB,BC=5
(1)当S四边形AEDF：S△ABC=2：5时,求BD的长
（2）若AC=跟好2 AB,且DF经过△ABC的重心,求EF的长

Answer 1

（1）设BD的长为x
根据三角形相似定理得,
BD²∕BC²=S△BDE/S△ABC,CD²/BC²=S△CDF/S△ABC
即,
x²/5²=S△BDE/S△ABC ①
(5-x)²/5²=S△CDF/S△ABC ②
①+②整理得,
（2x²-10x+25）/25=(S△ABC-S◇AEDF)/S△ABC
=1-2/5=3/5
整理得,x²-5x+5=0
解得,x=（5+√5）/2或x=（5-√5）/2
故,BD的长为（5+√5）/2或（5-√5）/2
（2）
根据重心定理可知,
DF/AB=2/3,DE/AC=2/3
∴DF/AB=DE/AC
∴DF/DE=AB/AC
∵DF‖AB
∴∠FDE=∠DEB
同理,∠DEB=∠CAB
∴∠FDE=∠CAB
∴△FDE∽△BAC
∴EF/BC=2/3
∴EF=2/3*5=10/3