如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．（1）

Question

如图，已知一个三角形纸片ABC，BC边的长为8，BC边上的高为6，∠B和∠C都为锐角，M为AB一动点（点M与点A、B不重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，在△AMN中，设MN的长为x，MN上的高为h．
（1）请你用含x的代数式表示h；
（2）将△AMN沿MN折叠，使△AMN落在四边形BCNM所在平面，设点A落在平面的点为A₁，△A₁MN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，当x为何值时，y最大，最大值为多少．

Answer 1

（1）∵MN∥BC
∴△AMN∽△ABC
∴(h)/(6)＝(x)/(8)
∴h＝(3x)/(4)．
（2）∵△AMN≌△A₁MN
∴△A₁MN的边MN上的高为h
①当点A₁落在四边形BCNM内或BC边上时
y=S_△A1MN=(1)/(2)MN•h=(1)/(2)x•(3)/(4)x=(3)/(8)x²（0＜x≤4）
②当A₁落在四边形BCNM外时，如图（4＜x＜8）
设△A₁EF的边EF上的高为h₁
则h₁=2h-6=(3)/(2)x-6
∵EF∥MN
∴△A₁EF∽△A₁MN
∵△A₁MN∽△ABC
∴△A₁EF∽△ABC
∴(S△A1EF)/(S△ABC)＝((h1)/(6))2
∵S_△ABC=(1)/(2)×6×8=24
∴S_△A1EF=（((3)/(2)x−6)/(6)）²×24=(3)/(2)x²-12x+24
∵y=S_△A1MN-S_△A1EF=(3)/(8)x²-（(3)/(2)x²-12x+24）=-(9)/(8)x²+12x-24
所以y=-(9)/(8)x²+12x-24（4＜x＜8）
综上所述
当0＜x≤4时，y=(3)/(8)x²，取x=4，y_max=6
当4＜x＜8时，y=-(9)/(8)x²+12x-24，取x=(16)/(3)，y_max=8
∴当x=(16)/(3)时，y值最大y_max=8．