已知数列an的前n项和为sn＝2（an-1）,求数列an的通项公式,令bn＝anlog2an,求bn前n项和

Question

已知数列an的前n项和为sn＝2（an-1）,求数列an的通项公式,令bn＝anlog2an,求bn前n项和

Answer 1

当n=1时,
a1=s1=2a1-2
a1=2
当n≥2时,
Sn=2an-2
S(n-1)=2a(n-1)=2,两式相减得：
an=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2=q
所以,数列{an}是以a1=2为首项,q=2为公比的等比数列；
an=2ⁿ
bn=2ⁿlog2(2ⁿ)=n·2ⁿ
Tn=b1+b2+.+bn
Tn=1·2+2·2²+3·2³+.+n·2ⁿ
2Tn = 1·2²+2·2³+3·2⁴+.+(n-1)·2ⁿ.+n·2^(n+1) (最后一项是n乘以2的n+1次方上式减下式
-Tn=(2+2²+2³+.+2ⁿ)－n·2^(n+1)
=2^(n+1)-2－n·2^(n+1)
Tn=n·2^(n+1)-2^(n+1)+2
=(n-1)·2^(n+1)+2