点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问：α为何值时,四边形ABTP面积最大?已知函数f(x)=sin(ωx+π/6)+sin(ωx-π/6)-2cos(ωx/2)^2,x∈R（其中ω>0）（1）求函数f(x)的值域.（2）若对任

Question

点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问：α为何值时,四边形ABTP面积最大?
已知函数f(x)=sin(ωx+π/6)+sin(ωx-π/6)-2cos(ωx/2)^2,x∈R（其中ω>0）
（1）求函数f(x)的值域.
（2）若对任意的a∈R,函数y=f(x),x∈(a,a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定ω的值（不必证明）,并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间.

Answer 1

第一道,连结AP,AB为直径,则∠APB=90°
设圆心为O,连结OP,则OA=OP,所以∠PAO=∠APO=a
PT是圆的切线,则OP⊥PT,所以∠APT=90°-a
AB=1,PT=1
所以,AP=ABcosa=1*cosa=cosa
S△ABP=1/2*AB*APsina=sinacosa/2=sin2a/4
S△APT=1/2*PA*PTsin（90°-a）=cos²a/2=2cos²a/4=（cos2a+1）/4
所以
S四边形ABPT
=S△ABP+S△APT
=sin2a/4+（cos2a+1）/4
=(sin2a+cos2a+1)/4
=[√2*sin（2a+45°）+1]/4
≤（1+√2)/4
当且仅当sin（2a+45°）=1,2a+45°=90°,a=22.5°时取等号
所以,当a=22.5°,四边形ABPT面积最大,最大值为（1+√2)/4
第二道,解
（1）f(x)=sin(ωx+π/6)+sin(ωx-π/6)-2cos^2(ωx/2),
=sinωxcosπ/6+cosωx sinπ/6+sinωxcosπ/6-cosωx sinπ/6-1-cosωx
=√3sinωx-cosωx-1
=2sin(ωx-π/6)-1故-3 ≤f(x) ≤1
（2）由2sin(ωx-π/6)-1=-1
得sin(ωx-π/6)=0
在一个π内有且仅有两个不同的交点,即周期为π
ω＝2
单调增区间：
2kπ-π/2