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点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问:α为何值时,四边形ABTP面积最大?已知函数f(x)=sin(ωx+π/6)+sin(ωx-π/6)-2cos(ωx/2)^2,x∈R(其中ω>0)(1)求函数f(x)的值域.(2)若对任
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点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问:α为何值时,四边形ABTP面积最大?
已知函数f(x)=sin(ωx+π/6)+sin(ωx-π/6)-2cos(ωx/2)^2,x∈R(其中ω>0)
(1)求函数f(x)的值域.
(2)若对任意的a∈R,函数y=f(x),x∈(a,a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定ω的值(不必证明),并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间.
已知函数f(x)=sin(ωx+π/6)+sin(ωx-π/6)-2cos(ωx/2)^2,x∈R(其中ω>0)
(1)求函数f(x)的值域.
(2)若对任意的a∈R,函数y=f(x),x∈(a,a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定ω的值(不必证明),并求函数y=f(x),x∈R的单调增区间.
▼优质解答
答案和解析
第一道,连结AP,AB为直径,则∠APB=90°
设圆心为O,连结OP,则OA=OP,所以∠PAO=∠APO=a
PT是圆的切线,则OP⊥PT,所以∠APT=90°-a
AB=1,PT=1
所以,AP=ABcosa=1*cosa=cosa
S△ABP=1/2*AB*APsina=sinacosa/2=sin2a/4
S△APT=1/2*PA*PTsin(90°-a)=cos²a/2=2cos²a/4=(cos2a+1)/4
所以
S四边形ABPT
=S△ABP+S△APT
=sin2a/4+(cos2a+1)/4
=(sin2a+cos2a+1)/4
=[√2*sin(2a+45°)+1]/4
≤(1+√2)/4
当且仅当sin(2a+45°)=1,2a+45°=90°,a=22.5°时取等号
所以,当a=22.5°,四边形ABPT面积最大,最大值为(1+√2)/4
第二道,解
(1)f(x)=sin(ωx+π/6)+sin(ωx-π/6)-2cos^2(ωx/2),
=sinωxcosπ/6+cosωx sinπ/6+sinωxcosπ/6-cosωx sinπ/6-1-cosωx
=√3sinωx-cosωx-1
=2sin(ωx-π/6)-1故-3 ≤f(x) ≤1
(2)由2sin(ωx-π/6)-1=-1
得sin(ωx-π/6)=0
在一个π内有且仅有两个不同的交点,即周期为π
ω=2
单调增区间:
2kπ-π/2
设圆心为O,连结OP,则OA=OP,所以∠PAO=∠APO=a
PT是圆的切线,则OP⊥PT,所以∠APT=90°-a
AB=1,PT=1
所以,AP=ABcosa=1*cosa=cosa
S△ABP=1/2*AB*APsina=sinacosa/2=sin2a/4
S△APT=1/2*PA*PTsin(90°-a)=cos²a/2=2cos²a/4=(cos2a+1)/4
所以
S四边形ABPT
=S△ABP+S△APT
=sin2a/4+(cos2a+1)/4
=(sin2a+cos2a+1)/4
=[√2*sin(2a+45°)+1]/4
≤(1+√2)/4
当且仅当sin(2a+45°)=1,2a+45°=90°,a=22.5°时取等号
所以,当a=22.5°,四边形ABPT面积最大,最大值为(1+√2)/4
第二道,解
(1)f(x)=sin(ωx+π/6)+sin(ωx-π/6)-2cos^2(ωx/2),
=sinωxcosπ/6+cosωx sinπ/6+sinωxcosπ/6-cosωx sinπ/6-1-cosωx
=√3sinωx-cosωx-1
=2sin(ωx-π/6)-1故-3 ≤f(x) ≤1
(2)由2sin(ωx-π/6)-1=-1
得sin(ωx-π/6)=0
在一个π内有且仅有两个不同的交点,即周期为π
ω=2
单调增区间:
2kπ-π/2
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