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f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=1/x+1,求f(x),g(x)
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f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)-g(x)=1/x+1,求 f(x),g(x)
▼优质解答
答案和解析
因为：f(x)是奇函数,
所以：f(-x)=-f(x).
因为：g(x)是偶函数,
所以：g(-x)=g(x)
已知：f(x)-g(x)=1/(x+1)
即：f(x)=g(x)+1/(x+1)
f(-x)=g(-x)+1/(1-x)=g(x)+1/(1-x)=-f(x)
即：f(x)=1/(1-x)-g(x)
所以,有：1/(1-x)-g(x)=g(x)+1/(x+1)
2g(x)=1/(1-x)-1/(x+1)
=(x+1)/[(1-x)(1+x)]-(1-x)/[(1-x)(1+x)]
=(x+1-1+x)/[(1-x)(1+x)]
=2x/(1-x^2)
所以：g(x)=2/(1-x^2)
f(x)=1/(1+x)+g(x)
=1/(1+x)+2/(1-x^2)
=(1-x+2)/(1-x^2)
=(3-x)/(1-x^2)
综合起来,有：
f(x)=(3-x)/(1-x^2)
g(x)=2/(1-x^2)
所以：f(-x)=-f(x).
因为：g(x)是偶函数,
所以：g(-x)=g(x)
已知：f(x)-g(x)=1/(x+1)
即：f(x)=g(x)+1/(x+1)
f(-x)=g(-x)+1/(1-x)=g(x)+1/(1-x)=-f(x)
即：f(x)=1/(1-x)-g(x)
所以,有：1/(1-x)-g(x)=g(x)+1/(x+1)
2g(x)=1/(1-x)-1/(x+1)
=(x+1)/[(1-x)(1+x)]-(1-x)/[(1-x)(1+x)]
=(x+1-1+x)/[(1-x)(1+x)]
=2x/(1-x^2)
所以：g(x)=2/(1-x^2)
f(x)=1/(1+x)+g(x)
=1/(1+x)+2/(1-x^2)
=(1-x+2)/(1-x^2)
=(3-x)/(1-x^2)
综合起来,有：
f(x)=(3-x)/(1-x^2)
g(x)=2/(1-x^2)
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