设f(x)在[a,b]上连续,且至少有一个零点,证明f(x)在[a,b]上必有最小零点.

Question

设f(x)在[a,b]上连续,且至少有一个零点,证明f(x)在[a,b]上必有最小零点.

Answer 1

这道题有意思~我来说个方法,你看看行不行.
首先假如函数在区间[a,b]内有有限个零点的话,那么有限个数我不管怎么样都可以找出来一个最小的,于是肯定有最小零点.
现在只看无限个零点的情况.这些无限个零点构成一个数集,这个数集是包含在区间[a,b]里面的,于是它是有界的.根据确界存在定理,有界数集必然存在下确界,设所有零点的下确界是个x0,现在就要证x0也是个零点,这样的话既是下确界又是零点,那么x0不就是最小的零点吗?
反证法,假设x0不是零点,那么f(x0)=y0≠0.肯定x0∈[a,b]这没问题.由下确界定义,任给δ>0,[x0,x0+δ]内都有零点,也就是存在x'∈[x0,x0+δ],使得f(x')=0；于是在区间[x0,x0+δ]内有一点x'使得
|f(x')-f(x0)|=|y0|>|y0|/2.但是我现在连续函数要求任给ε>0存在δ>0使得只要|x-x0||f(x)-f(x0)|0满足条件,因为总有一个零点x'在那里它使得|f(x')-f(x0)|=|y0|>|y0|/2.这就和连续矛盾了.于是只有x0也是个零点,它就是最小零点.