如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以AC为边向右侧作等边三角形ACD．（1）如图1，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB1，联结DB1，则与DB1长度相等的线段为（直接写出结论）；（2）如

Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以AC为边向右侧作等边三角形ACD．

（1）如图1，将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB₁，联结DB₁，则与DB₁长度相等的线段为 ___  （直接写出结论）；
（2）如图2，若P是线段BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转60°得到点Q，求∠ADQ的度数；
（3）画图并探究：若P是直线BC上任意一点（不与点C重合），点P绕点A逆时针旋转60°得到点Q，是否存在点P，使得以A、C、Q、D、为顶点的四边形是梯形，若存在，请指出点P的位置，并求出PC的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）将线段AB绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB₁，联结DB₁，则与DB₁长度相等的线段为BC；
故答案为：BC；
（2）由作图知AP=AQ，∠PAQ=60°
∵△ACD是等边三角形．
∴AC=AD，∠CAD=60°=∠PAQ，
∴∠PAC=∠QAD，
在△PAC和△QAD中

AP=AQ

∠PAC=∠QAD

AC=AD

，
∴△PAC≌△QAD（SAS），
∴∠ADQ=∠ACP=90°；
（3）如图3，同①可证△PAC≌△QAD，∠ADQ=∠ACP=90°，
当AD∥CQ时，∠CQD=180°-∠ADQ=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠QDC=30°，
∵CD=AC=2，
∴CQ=1，DQ=√(3)，
∴PC=DQ=√(3)且CQ≠AD，
∴此时四边形ACQD是梯形．
如图4，同理可证△PAC≌△QAD，∠ADQ=∠ACP=90°，
当AQ∥CD时，∠QAD=∠ADC=60°，∠AQD=30°，
∵AD=AC=2，
∴AQ=4，DQ=2√(3)，
∴PC=DQ=2√(3)，
此时DQ与AC不平行，四边形ACDQ是梯形．
综上所述，这样的点P有两个，分别在C点两侧，
当P点在C点左侧时，PC=√(3)；当P点在C点右侧时，PC=2√(3)．