已知a2+b2=1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1-x）（1-x-ax）-bx（b-x-bx）≥0（1）恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．

Question

已知a²+b²=1，对于满足条件0≤x≤1的一切实数x，不等式a（1-x）（1-x-ax）-bx（b-x-bx）≥0（1）
恒成立．当乘积ab取最小值时，求a，b的值．

Answer 1

整理不等式（1）并将a²+b²=1代入，得
（1+a+b）x²-（2a+1）x+a≥0（2）
在不等式（2）中，令x=0，得a≥0；令x=1，得b≥0．
易知1+a+b＞0，0＜(2a+1)/(2(1+a+b))＜1，
故二次函数y=（1+a+b）x²-（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间．
由题设知，不等式（2）对于满足条件0≤x≤1的一切实数x恒成立，
所以它的判别式△=（2a+1）²-4（1+a+b）a≤0，即ab≥(1)/(4)．
由方程组

a2+b2＝1

ab＝(1)/(4)

（3）
消去b，得16a⁴-16a²+1=0，所以a²=(2−√(3))/(4)或a²=(2+√(3))/(4)．
又因为a≥0，所以a=(√(6)−√(2))/(4)或a=

作业帮用户 2016-11-23 举报

问题解析

由已知条件a²+b²=1，代入已知不等式重新整理，利用特殊值法确定关于a，b的不等式，利用二次函数的增减性，确定判别式的取值范围，进而可以解决．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

此题主要考查了二次函数与不等式以及二元二次方程的解法，综合性较强，需耐心思考．

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