已知双曲线x^2-y^2/2=1与点P（1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB中点1.求直线AB的方程2.若Q（1,1）,证明不存在以Q为中点的弦

Question

已知双曲线x^2-y^2/2=1与点P（1,2),过P点作直线l与双曲线交于A、B两点,若P为AB中点
1.求直线AB的方程
2.若Q（1,1）,证明不存在以Q为中点的弦

Answer 1

(1)设点A坐标为（x1,y1),B(x2,y2)代入双曲线 x1^2-y1^2/2=1 x2^2-y2^2/2=1 相减得(x1^2-x2^2)-(y1^2-y2^2)/2=0 即(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)/2=0 又因为P为AB中点,所以(x1+x2)/2=1,x1+x2=2(y1+y2)/2=2,y1+y2=4,代入上式得 2(x1-x2)-4(y1-y2)/2=0,(y1-y2)/(x1-x2)=1,即直线的斜率k=1.所以直线AB的方程为 y-2=k(x-1),y-x-1=0 (2)显然过B点垂直X抽的直线不符合题意 只考虑有斜率的情况 设 的方程为y-1=k(x-1)代入双曲线方程x^2-y^2/2=1,整理得：(2-k^2)x^2-2k(1-k)x-k^2+2k-3=0…※设M（x1,y1）、N(x2,y2)则有x1+x2=2k(1-k)/(2-k^2) 解得：k=2又直线与双曲线必须有两不同交点,所以※式的△>0 把k=2代入得：△=-8