已知双曲线X²/3-y²/6=1,过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线交于M、N,且向量FM=-2*向量FN.求MN的距离

Question

已知双曲线X²/3-y²/6=1,过双曲线的右焦点F的直线l与双曲线交于M、N,且向量FM=-2*向量FN.求MN的距离

Answer 1

用几何法．a²=3,b²=6,

所以c²=a²+b²=9,c=3

从而　右准线AB的方程为x=a²/c=1,

设AB与x轴的交点为E,则|EF|=3-1=2,

且MA⊥AB,NB⊥AB,

由双曲线第二定义,得|MF|/|MA|=|NF|/|NB|=e=√3,

从而　|AM|/BN|=|FM|/|FN|=2,于是

过N作AM的垂线,则垂足C为AM的中点,设NC与x轴交于D.

设|BN|=d,则|MC|=d,由|DF|/|MC|=|NF|/|NM|=1/3,得

|DF|=d/3,从而|EF|=|ED|+|DF|=d+d/3=4d/3=2,d=3/2

所以|FN|=e·|BN|=3√3/2,

|MN|=3|FN|=9√3/2