三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点A是椭圆的一个短轴断点,如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围是?

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三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点A是椭圆的一个短轴断点,如果以A为直角顶点的
椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围是?

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答案和解析

设直线方程 y=kX+b 联立椭圆方程得(b^2+a^2)x^2+2a^2bkx=0
设另一条与其垂直的方程联立椭圆方程得（a^2+b^2k^2）x-2a^2bkx=0
由已知得直线与椭圆有焦点则由韦达定理和两条线段相等可得如下方程
（k-1）中括号b^2k^2+（b^2-a^2）k-b^2中括号完=0
讨论当k=1 成立中括号内可由判别式讨论
得a大于根号3乘b 有3个 0大于a小于或等于根号3乘b 有一个大于(根号6)/3 . (根号6/3,1)

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