三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点A是椭圆的一个短轴断点,如果以A为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围是?

Question

三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形,已知点A是椭圆的一个短轴断点,如果以A为直角顶点的
椭圆内接等腰直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围是?

Answer 1

设直线方程 y=kX+b 联立椭圆方程 得(b^2+a^2)x^2+2a^2bkx=0
设另一条与其垂直的方程 联立椭圆方程 得（a^2+b^2k^2）x-2a^2bkx=0
由已知得直线与椭圆有焦点 则由韦达定理和两条线段相等 可得如下方程
（k-1）中括号b^2k^2+（b^2-a^2）k-b^2中括号完=0
讨论当k=1 成立 中括号内可由判别式讨论
得a大于根号3乘b 有3个 0大于a小于或等于根号3乘b 有一个大于(根号6)/3 . (根号6/3,1)