矩阵特征值的问题设A为一n阶阵,放f(A)为A的矩阵多项式,证明：若f(A)=0,则f(A)的特征值均为0

Question

矩阵特征值的问题
设A为一n阶阵,放f(A)为A的矩阵多项式,证明：若f(A)=0,则f(A)的特征值均为0

Answer 1

首先,矩阵多项式为零矩阵推不出矩阵为零矩阵,比如A=[0,1;0,0]不为零矩阵,但A^2=零矩阵
Ax=ax
=> A^2 x= A(Ax)=A(ax)=a^2 x,
...
=>A^n x=a^n x,
线性组合一下,就知道若A有特征值a,则任意的矩阵多项式f(A)有特征值f(a),（比如 A^n+A 有特征值a^n+a).
你那个题本身有问题,比如取一个很特殊的矩阵多项式f（A)=0*A,不管什么矩阵作用后都为零矩阵,但显然不一定特征值都为0.
再者,任何矩阵都是有最小多项式的.假设矩阵A（n*n）有特征值lambda_1,lambda_2,...,lambda_n,对应的特征向量x_1,x_2,...,x_n构成一R^n的一组基.
这样的话,我们构造f(A)=(lambda_1-A)(lambda_2-A)...(lambda_n-A),(注意在这里括号可以交换,因为A和A自身和I是交换的)
任取向量x属于R^n,展开x=alpha_1*x_1+alpha_2*x_2+...+alpha_n*x_n
可见f(A)x_1=(lambda_2-A)...(lambda_n-A)(lambda_1-A)x_1=0,
同理f(A)x_2=0,
...
f(A)x_n=0.
故f(A)x也为零向量
这样,f(A)作用在任何向量上都为0,f(A)只能为零矩阵.（若不然,设a_(i,j)不为0,可以找到一个向量e_j(第j个元素为1,其余元素都为0),则A*e_j的第i个元素非0）.
所以随便找一具有n个线性无关特征向量的矩阵A,我们都可以构造出来f(A)为零矩阵,阶数最低的、最高项系数为1的f称为A的最小多项式.
要是题目中的A恰巧为这个最小多项式,根本推不出来A的特征值全为0.要是把f改为任意的矩阵多项式,这个题又太简单了,直接取f(A)=A,就知道A是零矩阵,当然特征值全为0.所以这个题目本身是完全错误的.
参考资料中是最小多项式的一般形式.这个最小多项式在理论分析中是非常有用的.