利用介值定理证明方程x³+X-1=0有且仅有一个实根

Question

利用介值定理证明方程x³+X-1=0有且仅有一个实根

Answer 1

第一：先证存在实根,令F（X）=X^3+X-1,那么F(0)=-1,F(1)=1,根据介值定理,在（0,1）之间存在一个实根T,使得F(T)=0
第二：证明唯一性,假设有两个不等的实根,不妨设两实根为M和N（M不等于N）
（M和N均在（0,1）之间
于是有F(M)=M^3+M-1,F(N)=N^3+N-1
根据假设F(M)=F(N),因此有M^3+M-1=N^3+N-1,整理得M^3-N^3+M-N=0
于是（M-N)(M^2+MN+N^2)=0
根据假设,M不等于N,M^2+MN+N^2>0（因为M和N都在（0,1））之间,于是出现矛盾,我们可得假设是错误的,得到M=N,因此可以证明唯一性.
证明唯一性的方法,还可以用单调性来证明
F（X）=X^3+X-1,F(X)的导数F(X)‘=3X^2+1,显然F(X)‘>0,于是得F(X)在（0,1)上是单调递增的,且F(0)=-10,那么F(X)与X轴的交点只能有一个,于是得F(X)有唯一的跟