定义在复数域上的N次方阵,满足A2+2A-3I=0,证明矩阵A可对角化,并求其相似对角阵

Question

定义在复数域上的N次方阵,满足A2+2A-3I=0,证明矩阵A可对角化,并求其相似对角阵

Answer 1

不知道你学到哪里了.
如果是刚学相似, 对角化.
那么大概思路可以这样:
由(A+3I)(A-I) = A²+2A-3I = 0,
得到秩的不等式: r(A+3I)+r(A-I)-n ≤ r((A+3I)(A-I)) = 0, 即r(A+3I)+r(A-I) ≤ n.
注意到特征值-3的几何重数为n-r(A+3I), 特征值1的几何重数为n-r(A-I).
二者之和(n-r(A+3I))+(n-r(A-I)) = 2n-(r(A+3I)+r(A-I)) ≥ n.
可得A的特征值只可能为1, -3, 且几何重数 = 代数重数.
于是A可对角化.
不过与之相似的对角阵有n+1种可能, 分别有0, 1, 2,..., n个特征值为1, 其余为-3.
如果学了Jordan标准型, 了解最小多项式.
那么可以更简单:
由A²+2A-3I = 0, A的最小多项式是x²+2x-3的因式.
而x²+2x-3 = (x+3)(x-1)没有重根, 因此A的最小多项式也没有重根.
A的Jordan块都是1阶, 即A可对角化.
此外A的特征值只能为1或-3, 依分别个数不同有n+1种可能.
若对上面涉及的概念, 结论有任何不解, 欢迎追问.