矩阵的一个小问题什么叫对角矩阵?除主对角线上其余位置的元素都为0的矩阵?那主对角线是能否为0?比如说一个n阶矩阵a11=1其余位置都为0的矩阵是否是主对角矩阵?什么叫一个矩阵可对角化?

Question

矩阵的一个小问题
什么叫对角矩阵?除主对角线上其余位置的元素都为0的矩阵?那主对角线是能否为0?比如说一个n阶矩阵a11=1 其余位置都为0的矩阵是否是主对角矩阵?
什么叫一个矩阵可对角化?
哈密顿-凯莱定理的证明 A是数域P上的nn矩阵,f(s)=/sE-A/是A的特征多项式,则f(A)=0
我看书上证明怎么写这么多啊?不是直接把s=A代出来f(A)=/AE-A/=/A-A/=0吗?
问题二补充：是不是所有矩阵都可以对角化？
问题三补充：问题三如果我说错了，请说明我错在哪？如果我说对了那哈密顿-凯莱定理不一眼就可以看出来了那还需要证明干嘛？况且书上对哈密顿-凯莱定理的证明上上去还很复杂。这是怎么回事？

Answer 1

对角矩阵就是除主对角线外,其它位置都为零的矩阵.或者等价的定义为满足A'=A的矩阵
对角矩阵只要求对角线以外的位置都为零,对角线上是否出现零没有关系,全零矩阵也是对角矩阵.一个n阶矩阵a11=1 其余位置都为0的矩阵也是对角矩阵.
矩阵可对角化分为两种,一种是相似对角化,也就是存在可逆矩阵X,使得X^(-1)AX为对角矩阵.另一种是合同对角化.也就是存在可逆矩阵C,使得C'AC为对角矩阵.
我们一般所说的对角化指相似对角化
不是所有的矩阵都可以相似对角化,但任何矩阵都可以相似化为若尔当标准型.
所有的矩阵都可以合同对角化.
在刚学习哈密顿-凯莱定理时,很多学生认为是想当然成立的,其实不然,这里关键的原因在于A是一个矩阵,不是一个数,所以是不能直接代入的,矩阵和数有很多不同,运算和性质都不同.不能想当然的认为对数成立的式子对矩阵也成立.要另行对矩阵的情况重新进行严格的证明.