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在△ABC中,AD是角A的平分线.(1)用正弦定理或余弦定理证明:BDDC=BAAC;(2)已知AB=2.BC=4,cosB=14,求AD的长.

题目详情
在△ABC中,AD是角A的平分线.
(1)用正弦定理或余弦定理证明:
BD
DC
=
BA
AC

(2)已知AB=2.BC=4,cosB=
1
4
,求AD的长.
在△ABC中,AD是角A的平分线.
(1)用正弦定理或余弦定理证明:
BD
DC
=
BA
AC

(2)已知AB=2.BC=4,cosB=
1
4
,求AD的长.

BD
DC
=
BA
AC

(2)已知AB=2.BC=4,cosB=
1
4
,求AD的长.
BD
DC
BDDCBDBDDCDC
BA
AC
BAACBABAACAC
cosB=
1
4
,求AD的长.
1
4
141144
▼优质解答
答案和解析
(本题满分为12分)
(1)证明:在△ABC中,由正弦定理得:
BD
sin∠BAD
=
BA
sin∠BDA
.…(2分)
在△ADC中,由正弦定理得:
DC
sin∠DAC
=
AC
sin∠ADC
.…(4分)
∵∠BAD=∠DAC,
∴sin∠BAD=sin∠DAC,
又∵∠BAD+∠ADC=π,
∴sin∠BAD=sin∠ADC,
BD
DC
=
BA
AC
.…(6分)
(2)在△ABC中,由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+42-2×2×4×
1
4
=16.
∴AC=4.…(8分)
由(1)知,
BD
DC
=
BA
AC
=
2
4
=
1
2

又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
BD
sin∠BAD
BDsin∠BADBDBDBDsin∠BADsin∠BADsin∠BAD=
BA
sin∠BDA
.…(2分)
在△ADC中,由正弦定理得:
DC
sin∠DAC
=
AC
sin∠ADC
.…(4分)
∵∠BAD=∠DAC,
∴sin∠BAD=sin∠DAC,
又∵∠BAD+∠ADC=π,
∴sin∠BAD=sin∠ADC,
BD
DC
=
BA
AC
.…(6分)
(2)在△ABC中,由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+42-2×2×4×
1
4
=16.
∴AC=4.…(8分)
由(1)知,
BD
DC
=
BA
AC
=
2
4
=
1
2

又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
BA
sin∠BDA
BAsin∠BDABABABAsin∠BDAsin∠BDAsin∠BDA.…(2分)
在△ADC中,由正弦定理得:
DC
sin∠DAC
=
AC
sin∠ADC
.…(4分)
∵∠BAD=∠DAC,
∴sin∠BAD=sin∠DAC,
又∵∠BAD+∠ADC=π,
∴sin∠BAD=sin∠ADC,
BD
DC
=
BA
AC
.…(6分)
(2)在△ABC中,由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+42-2×2×4×
1
4
=16.
∴AC=4.…(8分)
由(1)知,
BD
DC
=
BA
AC
=
2
4
=
1
2

又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
DC
sin∠DAC
DCsin∠DACDCDCDCsin∠DACsin∠DACsin∠DAC=
AC
sin∠ADC
ACsin∠ADCACACACsin∠ADCsin∠ADCsin∠ADC.…(4分)
∵∠BAD=∠DAC,
∴sin∠BAD=sin∠DAC,
又∵∠BAD+∠ADC=π,
∴sin∠BAD=sin∠ADC,
BD
DC
=
BA
AC
.…(6分)
(2)在△ABC中,由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB=22+42-2×2×4×
1
4
=16.
∴AC=4.…(8分)
由(1)知,
BD
DC
=
BA
AC
=
2
4
=
1
2

又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
BD
DC
BDDCBDBDBDDCDCDC=
BA
AC
BAACBABABAACACAC.…(6分)
(2)在△ABC中,由余弦定理得:AC22=AB22+BC22-2AB•BC•cosB=222+422-2×2×4×
1
4
=16.
∴AC=4.…(8分)
由(1)知,
BD
DC
=
BA
AC
=
2
4
=
1
2

又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
2×4×
1
4
14111444=16.
∴AC=4.…(8分)
由(1)知,
BD
DC
=
BA
AC
=
2
4
=
1
2

又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
BD
DC
BDDCBDBDBDDCDCDC=
BA
AC
BAACBABABAACACAC=
2
4
=
1
2

又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
2
4
24222444=
1
2

又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
1
2
12111222,
又BD+DC=BC=4,
∴BD=
4
3
.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB=22+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
4
3
43444333.…(10分)
在△ABD中,由余弦定理得:AD22=AB22+BD22-2AB•BD•cosB=222+(
4
3
2-2×
4
3
×
1
4
=
40
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∴AD=
2
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3
.…(12分)
4
3
43444333)22-2×
4
3
×
1
4
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40
9

∴AD=
2
10
3
.…(12分)
4
3
43444333×
1
4
14111444=
40
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∴AD=
2
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3
.…(12分)
40
9
409404040999.
∴AD=
2
10
3
.…(12分)
2
10
3
2
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32
10
2
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2
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10
10
1010333.…(12分)
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