在△ABC中，AD是角A的平分线．（1）用正弦定理或余弦定理证明：BDDC=BAAC；（2）已知AB=2．BC=4，cosB=14，求AD的长．

Question

在△ABC中，AD是角A的平分线．
（1）用正弦定理或余弦定理证明：(BD)/(DC)=(BA)/(AC)；
（2）已知AB=2．BC=4，cosB=(1)/(4)，求AD的长．在△ABC中，AD是角A的平分线．
（1）用正弦定理或余弦定理证明：(BD)/(DC)=(BA)/(AC)；
（2）已知AB=2．BC=4，cosB=(1)/(4)，求AD的长．
(BD)/(DC)=(BA)/(AC)；
（2）已知AB=2．BC=4，cosB=(1)/(4)，求AD的长．(BD)/(DC)BDDCBDBDDCDC(BA)/(AC)BAACBABAACAC
cosB=(1)/(4)，求AD的长．(1)/(4)141144

Answer 1

（本题满分为12分）
（1）证明：在△ABC中，由正弦定理得：(BD)/(sin∠BAD)=(BA)/(sin∠BDA)．…（2分）
在△ADC中，由正弦定理得：(DC)/(sin∠DAC)=(AC)/(sin∠ADC)．…（4分）
∵∠BAD=∠DAC，
∴sin∠BAD=sin∠DAC，
又∵∠BAD+∠ADC=π，
∴sin∠BAD=sin∠ADC，
∴(BD)/(DC)=(BA)/(AC)．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=2²+4²-2×2×4×(1)/(4)=16．
∴AC=4．…（8分）
由（1）知，(BD)/(DC)=(BA)/(AC)=(2)/(4)=(1)/(2)，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (BD)/(sin∠BAD)BDsin∠BADBDBDBDsin∠BADsin∠BADsin∠BAD=(BA)/(sin∠BDA)．…（2分）
在△ADC中，由正弦定理得：(DC)/(sin∠DAC)=(AC)/(sin∠ADC)．…（4分）
∵∠BAD=∠DAC，
∴sin∠BAD=sin∠DAC，
又∵∠BAD+∠ADC=π，
∴sin∠BAD=sin∠ADC，
∴(BD)/(DC)=(BA)/(AC)．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=2²+4²-2×2×4×(1)/(4)=16．
∴AC=4．…（8分）
由（1）知，(BD)/(DC)=(BA)/(AC)=(2)/(4)=(1)/(2)，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (BA)/(sin∠BDA)BAsin∠BDABABABAsin∠BDAsin∠BDAsin∠BDA．…（2分）
在△ADC中，由正弦定理得：(DC)/(sin∠DAC)=(AC)/(sin∠ADC)．…（4分）
∵∠BAD=∠DAC，
∴sin∠BAD=sin∠DAC，
又∵∠BAD+∠ADC=π，
∴sin∠BAD=sin∠ADC，
∴(BD)/(DC)=(BA)/(AC)．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=2²+4²-2×2×4×(1)/(4)=16．
∴AC=4．…（8分）
由（1）知，(BD)/(DC)=(BA)/(AC)=(2)/(4)=(1)/(2)，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (DC)/(sin∠DAC)DCsin∠DACDCDCDCsin∠DACsin∠DACsin∠DAC=(AC)/(sin∠ADC)ACsin∠ADCACACACsin∠ADCsin∠ADCsin∠ADC．…（4分）
∵∠BAD=∠DAC，
∴sin∠BAD=sin∠DAC，
又∵∠BAD+∠ADC=π，
∴sin∠BAD=sin∠ADC，
∴(BD)/(DC)=(BA)/(AC)．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cosB=2²+4²-2×2×4×(1)/(4)=16．
∴AC=4．…（8分）
由（1）知，(BD)/(DC)=(BA)/(AC)=(2)/(4)=(1)/(2)，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (BD)/(DC)BDDCBDBDBDDCDCDC=(BA)/(AC)BAACBABABAACACAC．…（6分）
（2）在△ABC中，由余弦定理得：AC²2=AB²2+BC²2-2AB•BC•cosB=2²2+4²2-2×2×4×(1)/(4)=16．
∴AC=4．…（8分）
由（1）知，(BD)/(DC)=(BA)/(AC)=(2)/(4)=(1)/(2)，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） 2×4×(1)/(4)14111444=16．
∴AC=4．…（8分）
由（1）知，(BD)/(DC)=(BA)/(AC)=(2)/(4)=(1)/(2)，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (BD)/(DC)BDDCBDBDBDDCDCDC=(BA)/(AC)BAACBABABAACACAC=(2)/(4)=(1)/(2)，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (2)/(4)24222444=(1)/(2)，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (1)/(2)12111222，
又BD+DC=BC=4，
∴BD=(4)/(3)．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB=2²+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (4)/(3)43444333．…（10分）
在△ABD中，由余弦定理得：AD²2=AB²2+BD²2-2AB•BD•cosB=2²2+（(4)/(3)）²-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (4)/(3)43444333）²2-2×2×(4)/(3)×(1)/(4)=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） 2×(4)/(3)43444333×(1)/(4)14111444=(40)/(9)．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (40)/(9)409404040999．
∴AD=(2√(10))/(3)．…（12分） (2√(10))/(3)2√(10)32√(10)2√(10)2√(10)

10

10

1010333．…（12分）