在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c．（1）叙述并证明正弦定理（2）设a+c＝2b，A−C＝π3，求sinB的值．

Question

在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c．
（1）叙述并证明正弦定理
（2）设a+c＝2b，A−C＝(π)/(3)，求sinB的值．

a+c＝2b，A−C＝(π)/(3)，求sinB的值．(π)/(3)ππ33

Answer 1

（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径），
证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点H，
可得：CH=a•sinB，CH=b•sinA，
∴a•sinB=b•sinA，

得到(a)/(sinA)=(b)/(sinB)
同理，在△ABC中，(b)/(sinB)=(c)/(sinC)，
∵同弧所对的圆周角相等，∴(c)/(sinC)=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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问题解析

（1）直接叙述正弦定理，通过三角函数定义法证明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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本题考点：

正弦定理．

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此题考查了正弦定理，两角和差的余弦公式、以及和差化积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

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(a)/(sinA)aaasinAsinAsinA=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径），
证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点H，
可得：CH=a•sinB，CH=b•sinA，
∴a•sinB=b•sinA，

得到(a)/(sinA)=(b)/(sinB)
同理，在△ABC中，(b)/(sinB)=(c)/(sinC)，
∵同弧所对的圆周角相等，∴(c)/(sinC)=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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（1）直接叙述正弦定理，通过三角函数定义法证明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(b)/(sinB)bbbsinBsinBsinB=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径），
证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点H，
可得：CH=a•sinB，CH=b•sinA，
∴a•sinB=b•sinA，

得到(a)/(sinA)=(b)/(sinB)
同理，在△ABC中，(b)/(sinB)=(c)/(sinC)，
∵同弧所对的圆周角相等，∴(c)/(sinC)=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(c)/(sinC)cccsinCsinCsinC（2R三角形外接圆的直径），
证明：在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c．作CH⊥AB垂足为点H，
可得：CH=a•sinB，CH=b•sinA，
∴a•sinB=b•sinA，

得到(a)/(sinA)=(b)/(sinB)
同理，在△ABC中，(b)/(sinB)=(c)/(sinC)，
∵同弧所对的圆周角相等，∴(c)/(sinC)=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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（1）直接叙述正弦定理，通过三角函数定义法证明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(a)/(sinA)aaasinAsinAsinA=(b)/(sinB)
同理，在△ABC中，(b)/(sinB)=(c)/(sinC)，
∵同弧所对的圆周角相等，∴(c)/(sinC)=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
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(b)/(sinB)bbbsinBsinBsinB
同理，在△ABC中，(b)/(sinB)=(c)/(sinC)，
∵同弧所对的圆周角相等，∴(c)/(sinC)=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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（1）直接叙述正弦定理，通过三角函数定义法证明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(b)/(sinB)bbbsinBsinBsinB=(c)/(sinC)，
∵同弧所对的圆周角相等，∴(c)/(sinC)=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(c)/(sinC)cccsinCsinCsinC，
∵同弧所对的圆周角相等，∴(c)/(sinC)=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(c)/(sinC)cccsinCsinCsinC=2R，
则(a)/(sinA)=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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(a)/(sinA)aaasinAsinAsinA=(b)/(sinB)=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
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∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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(b)/(sinB)bbbsinBsinBsinB=(c)/(sinC)（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
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(c)/(sinC)cccsinCsinCsinC（2R三角形外接圆的直径）；
（2）在△ABC中，
∵a+c=2b，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，
∴2sin(A+C)/(2)cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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(A+C)/(2)A+CA+CA+C222cos(A−C)/(2)=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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(A−C)/(2)A−CA−CA−C222=4sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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(B)/(2)BBB222cos(B)/(2)，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
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(B)/(2)BBB222，
再由A-C=(π)/(3)，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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(π)/(3)πππ333，可得 sin(π−B)/(2)cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
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(π−B)/(2)π−Bπ−Bπ−B222cos(π)/(6)=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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(π)/(6)πππ666=2sin(B)/(2)cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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(B)/(2)BBB222cos(B)/(2)，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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（1）直接叙述正弦定理，通过三角函数定义法证明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

名师点评

本题考点：

正弦定理．

考点点评：

此题考查了正弦定理，两角和差的余弦公式、以及和差化积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

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(B)/(2)BBB222，
解得：sin(B)/(2)=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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问题解析

（1）直接叙述正弦定理，通过三角函数定义法证明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(B)/(2)BBB222=(√(3))/(4)，
∴cos(B)/(2)=

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（1）直接叙述正弦定理，通过三角函数定义法证明即可；
（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(√(3))/(4)√(3)√(3)√(3)

3

33444，
∴cos(B)/(2)=

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（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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(B)/(2)BBB222=

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（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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（2）在△ABC中，由 a+c=2b，利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，再利用和差化积公式、诱导公式以及A-C=(π)/(3)，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．(π)/(3)πππ333，求得sin(B)/(2)的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．(B)/(2)BBB222的值，可得cos(B)/(2)的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．(B)/(2)BBB222的值，再利用二倍角公式求得sinB 的值．

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