P是抛物线y^2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-1)^2+y^2=1内切于三角形PBC,求三角形PBC面积最小值.

Question

P是抛物线y^2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-1)^2+y^2=1内切于三角形PBC,求三角形PBC面积最小值.

Answer 1

在抛物线y^2=2x上设一点((Y^2)/2,Y),则过此点且与圆相切的直线方程为y-Y=k*(x-(Y^2)/2)
由于圆(x-1)^2+y^2=1内切于三角形PBC,则有
|k(1-(Y^2)/2+Y|/√(1+k^2)=1
化简有（（Y^4)/4-Y^2 )*k^2+(2Y-Y^3)k+Y^2-1=0
有韦达定理,有k1+k2= -(2Y-Y^3)/((Y^4)/4-Y^2)
k1*k2=(Y^2-1)/((Y^4)/4-Y^2)
(k1-k2)^2=(k1+k2)^2-4*k1*k2
所以|k1-k2|=4/|Y^2-4|
由于B和C纵坐标之差为Y^2*|k1-k2|/2
三角形PBC面积表达式为S=|BC|*(Y^2)/2*1/2=Y^4/（2*|Y^2-4|）
求导取最值,得面积最小值为8