（1998•武汉）如图，已知：△ABC中，AB=AC，且⊙O内切于△ABC、D、E、F是切点，又CF交圆于G，EG延长交BC于M，AG交圆于K．（1）求证：△MCG∽△MEC；（2）若EM⊥CD，求cos∠FAK的值．

Question

（1998•武汉）如图，已知：△ABC中，AB=AC，且⊙O内切于△ABC、D、E、F是切点，又CF交圆于G，EG延长交BC于M，AG交圆于K．
（1）求证：△MCG∽△MEC；
（2）若EM⊥CD，求cos∠FAK的值．

Answer 1

（1）证明：如图所示：
连接EF．
∵⊙O是等腰三角形ABC的内切圆，
∴∠GEC=∠EFC，AF=AE
∵AB=AC，
∴EF∥BC，
∴∠EFC=∠GCM，
∴∠GEC=∠GCM，
∵∠GMC=∠EMC，
∴△MCG∽△MEC；

（2）∵△MCG∽△MEC，
∴(MC)/(MG)=(ME)/(MC)，
∴MC²=MG•ME，
∵CB与圆切于点D，
∴MD²=MG•ME，
∴MC²=MD²，
∴MC=MD，
又∵EM⊥CD，CM=(1)/(2)CD=(1)/(2)CE，
故∠2=∠3=30°，∠ACB=60°，△ABC为正三角形，
E、F、D为三边中点，且CF⊥AB，设CM=a，
∴AF=CD=2a，AC=4a，CF=2√(3)a，CG=(2√(3))/(3)a，
∴FG=CF-CG=2√(3)a-(2√(3))/(3)a=(4√(3))/(3)a，
∴在Rt△AFG中，
AG=√(AF2+FG2)

作业搜用户 2016-12-02