书上说导数的实质是“增量比的极限”.那如果说某函数在t点处可导,某点处哪里来的增量,它又是怎么可导的?

Question

书上说导数的实质是“增量比的极限”.
那如果说某函数在t点处可导,
某点处哪里来的增量,它又是怎么可导的?

Answer 1

函数y=f(x)在t点处可导,就是当自变量x→t 时,极限lim[f(x)-f(t)]/(x-t)=f'(t)存在
这里,x是在t附近的自变量的取值(x是可变的),△x=x-t就是自变量从t到x的改变量（即自变量的增量）,对应的 △y=f(x)-f(t)是自变量从t到x时,函数的改变量（即函数值的增量）
∴[f(x)-f(t)]/(x-t）是增量比,f'(t)=lim[f(x)-f(t)]/(x-t)就是“增量比的极限”.