已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过点(1,2/3)且历心率e=1/2求椭圆方程若直线l:y=kx+m(k不等于0)与椭圆交于不同两点MN,且线段MN的垂直平分线过定点G(1/8,0),求k的取值范围

Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过点(1,2/3)且历心率e=1/2 求椭圆方程
若直线l:y=kx+m(k不等于0)与椭圆交于不同两点M N,且线段MN的垂直平分线过定点G(1/8,0),求k的取值范围

Answer 1

由题意可知e=c/a=1/2
∴a=2c,b²=a²-c²=3c²
∴方程为x²/4c²+y²/3c²=1
∵过点(1,2/3)
∴带入得1/4c²+(4/9)/3c²=1
解得：c²=1
∴方程为x²/4+y²/3=1

设M(x1,y1),N(x2,y2)
由x²/4+y²/3=1与y=kx+m
消去y并整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∵直线y=kx+m与椭圆有 两个交点
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0,即m²＜4k²+3
又∵x1+x2=-8km/(3+4k²)
∴MN中点P坐标为(-4km/(3+4k²),3m/(3+4k²))
设MN的垂直平分线l'：y=-1/k(x-1/8)
∵P在l'上
∴带入得：3m/(3+4k²)=-1/k(-4km/(3+4k²)-1/8)
即4k²+8km+3=0

∴m=-1/8k(4k²+3)
将上式代入得：(4k²+3)²/64k²1/20
即k√5/10
∴取值范围是(-∞,-√5/10)∪(√5/10,+∞)

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