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如图1,在正方形ABCD中,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)若点E是BC边上的中点,求证:AE=EF;(2)如图2,若点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,那
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如图1,在正方形ABCD中,∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)若点E是BC边上的中点,求证:AE=EF;
(2)如图2,若点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,那么结论“AE=EF”是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若点E是BC边上的任意点一,在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEF是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.

(1)若点E是BC边上的中点,求证:AE=EF;
(2)如图2,若点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,那么结论“AE=EF”是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若点E是BC边上的任意点一,在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEF是平行四边形?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.

▼优质解答
答案和解析
(1)证明:取AB的中点H,连接EH;如图1所示

∵四边形ABCD是正方形,AE⊥EF;
∴∠1+∠AEB=90°,∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2,
∵BH=BE,∠BHE=45°,且∠FCG=45°,
∴∠AHE=∠ECF=135°,AH=CE,在△AHE和△ECF中,
,
∴△AHE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(2) AE=EF成立,
理由如下:如图2,延长BA到M,使AM=CE,

∵∠AEF=90°,
∴∠FEG+∠AEB=90°.
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠FEG,
∴∠MAE=∠CEF.
∵AB=BC,
∴AB+AM=BC+CE,
即BM=BE.
∴∠M=45°,
∴∠M=∠FCE.
,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
(3)存在,
理由如下:如图3,作DM⊥AE于AB交于点M,则有:DM∥EF,连接ME、DF,

在△ADM与△BAE中,
,
∴△ADM≌△BAE(ASA),
∴DM=AE,
∵由(1)AE=EP,
∴DM=EP,
∴四边形DMEP为平行四边形.

∵四边形ABCD是正方形,AE⊥EF;
∴∠1+∠AEB=90°,∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2,
∵BH=BE,∠BHE=45°,且∠FCG=45°,
∴∠AHE=∠ECF=135°,AH=CE,在△AHE和△ECF中,
|
∴△AHE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF;
(2) AE=EF成立,
理由如下:如图2,延长BA到M,使AM=CE,

∵∠AEF=90°,
∴∠FEG+∠AEB=90°.
∵∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠FEG,
∴∠MAE=∠CEF.
∵AB=BC,
∴AB+AM=BC+CE,
即BM=BE.
∴∠M=45°,
∴∠M=∠FCE.
|
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF.
(3)存在,
理由如下:如图3,作DM⊥AE于AB交于点M,则有:DM∥EF,连接ME、DF,

在△ADM与△BAE中,
|
∴△ADM≌△BAE(ASA),
∴DM=AE,
∵由(1)AE=EP,
∴DM=EP,
∴四边形DMEP为平行四边形.
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