已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f-1（x），且f-1（x）∈A；②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；③对任意f（x）、g（x）∈A，若

Question

已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质：
①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f^-1（x），且f^-1（x）∈A；
②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；
③对任意f（x）、g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A；
（1）若f（x）=((1)/(2))x，g（x）=2x-3均在集合A中，求证：函数h（x）=log(1)/(2)（2x-3）∈A；
（2）若函数f（x）=(x2+a)/(x+1)（x≥1）在集合A中，求实数a的取值范围；
（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，求证：存在一个实数x₀，使得对一切f（x）∈A，均有f（x₀）=x₀．

Answer 1

（1）证明：由f（x）=((1)/(2))x∈A，根据性质①可得：f^-1（x）=log(1)/(2)x∈A，且存在x₀>0，使得log(1)/(2)x0=x₀，
由g（x）=2x-3∈A，且为一次函数，根据性质③可得：h（x）=log(1)/(2)(2x-3)=f^-1（g（x））∈A．
（2） 由性质②，方程(x2+a)/(x+1)=x（x≥1），即a=x在x∈[1，+∞）上有解，∴a≥1．
由f（x）=(x2+a)/(x+1)=(x2-1+a+1)/(x+1)=x+1+(a+1)/(x+1)-2，（x∈[1，+∞））．
若√(a+1)>2，a>3时，(a-1)/(2)>1，且f（1）=f((a-1)/(2))，∴此时f（x）没有反函数，即不满足性质①．
若√(a+1)≤2，1≤a≤3时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）有反函数，即满足性质①．
综上：a∈[1，3]．
（3）证明：任取f₁（x）=ax+b，f₂（x）=cx+d∈A，由性质（1）a，c≠0，不妨设a，c≠1，（若a=1，则b=0，∴f₁（x）=x），
由性质③函数g（x）=f₁（f₂（x））=acx+（ad+b）∈A，函数h（x）=f₂（f₁（x））=acx+（bc+d）∈A，
由性质①：h^-1（x）=(x-(bc+d))/(ac)∈A，
由性质③：h^-1（g（x））=(acx+(bd+b)-(bc+d))/(ac)=x=((ad+b)-(bc+d))/(ac)∈A，
由性质②方程：x+((ad+b)-(bc+d))/(ac)=x有解，∴ad+b=bc+d，即(b)/(a-1)=(d)/(c-1)，
f₁（x）=x，可得ax+b=x，x=(b)/(a-1)．f₂（x）=x，可得cx+d=x，x=(d)/(c-1)．
由此可知：对于任意两个函数f₁（x），f₂（x），存在相同的x₀满足：f₁（x₀）=x₀f₂（x₀），
∴存在一个实数x₀，使得对一切f（x）∈A，均有f（x₀）=x₀．