抛物线y2=2px上弦长为a（a≥2p）的弦的中点到y轴的距离的最小值为：a−p2a−p2．

Question

抛物线y²=2px上弦长为a（a≥2p）的弦的中点到y轴的距离的最小值为：

(a−p)/(2)

(a−p)/(2)

．

Answer 1

抛物线的准线l的方程为：x=-(P)/(2)，焦点F（(P)/(2)，0），
记弦的两端点为A、B，AB的中点为M，它们在l上的射影分别是A₁，B₁，M₁；
于是有：|AF|=|AA₁|，|BF|=|BB₁|，
M到y轴的距离d=|MM₁|-(P)/(2)=(1)/(2)（|AA₁|+|BB₁|）-(P)/(2)=(1)/(2)（|AF|+|BF|）-(P)/(2)≥(1)/(2)|AB|-(P)/(2)=(a−P)/(2)，当且仅当A，B，F共线时等号成立．