在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A．点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及

Question

在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x-1交于点A．点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C₁的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C₂：y=ax²+1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

Answer 1

（1）过点（0，2）且平行于x轴的直线解析式为y=2，
令y=2，则有x-1=2，解得：x=3，
故A点的坐标为（3，2）．
∵点A关于直线x=1的对称点为B，
∴B点的坐标为（-1，2）．
（2）∵抛物线C₁：y=x²+bx+c经过点A，B，
∴有

2=9+3b+c

2=1-b+c

，解得：

b=-2

c=-1

，
故求抛物线C₁的表达式为y=x²-2x-1．
∵y=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴抛物线C₁的顶点坐标为（1，-2）．
（3）依照题意画出题形如下．

令y=2，则有ax²+1=2，解得：x=±(1)/(√(a))，其中a>0，
∵抛物线C₂：y=ax²+1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，
∴有

-(1)/(√(a))<-1

(1)/(√(a))≤3

，解得：(1)/(9)≤a<1．
故a的取值范围为(1)/(9)≤a<1．