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在△ABC中,BC>AB,BD平分∠ABC交AC于D,如图,CP垂直BD,垂足为P,AQ垂直BP,Q为垂足.M是AC中点,E是BC中点.若△PQM的外接圆O与AC的另一个交点为H,求证:O、H、E、M四点共圆.
题目详情
在△ABC中,BC>AB,BD平分∠ABC交AC于D,如图,CP垂直BD,垂足为P,AQ垂直BP,Q为垂足.M是AC中点,E是BC中点.若△PQM的外接圆O与AC的另一个交点为H,求证:O、H、E、M四点共圆.
▼优质解答
答案和解析
证明:延长AQ交BC于N,如图,
∵AQ⊥BP,BD平分∠ABC,
∴△ABN为等腰三角形,
∴BQ平分AN,
∴AQ=NQ,
∵又M为AC中点,
∴QM∥BC,
∴∠PQM=∠PBC=
∠ABC,
∵E点为BC的中点,M为AC的中点,
∴EM∥AB,
连结PE,
∵PC⊥BP,
∴∠BPC=90°,
∴PE为Rt△BPC斜边上的中线,
∴EB=EP=EC,
∴∠EBP=∠EPB,
而∠EBP=∠ABP,
∴∠ABP=∠EBP,
∴PE∥AB,
∴点P、M、E共线,
∴∠MPQ=∠PBC=
∠ABC,
∴∠MPQ=∠MQP=∠PBC,
连结HE,BH,OH,OM,OP,如图,
∵∠PHM=∠PQM,
∴∠PHM=∠PBC,
∴P、H、B、C四点共圆,
∴∠BHC=∠BPC=90°,
∴EH为Rt△BHC斜边上的中线,
∴EH=EC=BE,
∴EH=EP,
∴∠EHP=∠EPH,
∵OH=OP,
∴∠OHP=∠OPH,
∴∠EHO=∠EPO,
∵∠OPM=∠OMP,
∴∠EHO=∠OMP,
O、H、E、M四点共圆.
∵AQ⊥BP,BD平分∠ABC,
∴△ABN为等腰三角形,
∴BQ平分AN,
∴AQ=NQ,
∵又M为AC中点,
∴QM∥BC,
∴∠PQM=∠PBC=
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∵E点为BC的中点,M为AC的中点,
∴EM∥AB,
连结PE,
∵PC⊥BP,
∴∠BPC=90°,
∴PE为Rt△BPC斜边上的中线,
∴EB=EP=EC,
∴∠EBP=∠EPB,
而∠EBP=∠ABP,
∴∠ABP=∠EBP,
∴PE∥AB,
∴点P、M、E共线,
∴∠MPQ=∠PBC=
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∴∠MPQ=∠MQP=∠PBC,
连结HE,BH,OH,OM,OP,如图,
∵∠PHM=∠PQM,
∴∠PHM=∠PBC,
∴P、H、B、C四点共圆,
∴∠BHC=∠BPC=90°,
∴EH为Rt△BHC斜边上的中线,
∴EH=EC=BE,
∴EH=EP,
∴∠EHP=∠EPH,
∵OH=OP,
∴∠OHP=∠OPH,
∴∠EHO=∠EPO,
∵∠OPM=∠OMP,
∴∠EHO=∠OMP,
O、H、E、M四点共圆.
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