在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，EHBH=3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：ECBG=EHBH；（2）若∠CGF=90°，求ABBC的值．

Question

在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，(EH)/(BH)=3，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．

（1）求证：(EC)/(BG)=(EH)/(BH)；
（2）若∠CGF=90°，求(AB)/(BC)的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，
∴△CEH∽△GBH，
∴(EC)/(BG)=(EH)/(BH)．
（2） 作EM⊥AB于M，如图所示：
则EM=BC=AD，AM=DE，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，
由（1）得：(EC)/(BG)=(EH)/(BH)=3，
∴BG=(1)/(3)CE=a，
∴AG=5a，
∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，
∴△DEF∽△GEC，
∴(DE)/(EG)=(EF)/(EC)，
∴EG•EF=DE•EC，
∵CD∥AB，
∴(EF)/(FG)=(DE)/(AG)=(3)/(5)，
∴(EF)/(EG)=(3)/(2)，
∴EF=(3)/(2)EG，
∴EG•(3)/(2)EG=3a•3a，
解得：EG=√(6)a，
在Rt△EMG中，GM=2a，
∴EM=√(EG2-GM2)=√(2)a，
∴BC=√(2)a，
∴(AB)/(BC)=(6a)/(√(2)a)=3√(2)．