如图，三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH．（Ⅱ）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：BCD⊥EGH．

Question

如图，三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（Ⅰ）求证：BD∥平面FGH．
（Ⅱ）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：BCD⊥EGH．

Answer 1

（I）证法一：如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF=M，连接MH．
在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．
∴DF平行且等于GC，∴四边形CFDG是平行四边形，
∴DM=MC．又BH=HC，
∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，
∴BD∥平面FGH；
证法二：在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．
∴BH平行且等于EF，
∴四边形BHFE为平行四边形．
∴BE∥HF．
在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，
∴GH∥AB，又GH∩HF=H，
∴平面FGH∥平面ABED，
∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．
（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，
∴GH∥AB，
∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，
又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．
∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．
∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．
又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，
∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，
∴平面BCD⊥平面EGH．