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已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.(1)求证:三棱锥S-ABC为正三棱锥.(2)若二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA=23,求三棱锥S-ABC的体

题目详情
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.
(1)求证:三棱锥S-ABC为正三棱锥.
(2)若二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA= 2
3
,求三棱锥S-ABC的体积.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)如图,AH⊥面SBC,

设BH交SC于E,连接AE
∵H是△SBC的垂心
∴BE⊥SC,
∵AH⊥平面SBC,SC⊆平面SBC
∴AH⊥SC,结合BE∩AH=H
∴SC⊥平面ABE,
∵AB⊆平面ABE,
∴AB⊥SC
设S在底面ABC内的射影为O,则SO⊥平面ABC,
∵AB⊆平面ABC
∴AB⊥SO,结合SC∩SO=S
∴AB⊥平面SCO,
∵CO⊆平面SCO
∴CO⊥AB,同理BO⊥AC,
可得O是△ABC的垂心
∵△ABC是正三角形
∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心
∴三棱锥S-ABC为正三棱锥.…(6分)
(2)由(1)有SA=SB=SC= 2
3

延长CO交AB于F,连接EF
∵CF⊥AB,CF是EF在面ABC内的射影,
∴EF⊥AB,
∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角,∠EFC=30°,
∵SC⊥平面ABE,EF⊆平面ABE,
∴EF⊥SC,Rt△EFC中,∠ECF=60°,
可得Rt△SOC中,OC=SCcos60°=
3

SO=SCsin60°=3,
∴正三角形ABC中,AB=
3
OC=3,
S △ABC =
3
4
• 3 2 =
9
3
4

V S-ABC =
1
3
S △ABC •SO=
9
3
4
…(12分)
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