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(2010•浦东新区二模)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,M是侧棱CC1上一点,设MC=h.(1)若BM⊥A1C,求h的值;(2)若直线AM与平面ABC所成的角为π4,求
题目详情

(1)若BM⊥A1C,求h的值;
(2)若直线AM与平面ABC所成的角为
π |
4 |
▼优质解答
答案和解析
(1)以A为坐标原点,以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则B(2,0,0),M(0,2,h),A1(0,0,4),C(0,2,0)(2分)
=(−2,2,h),
=(0,2,−4)(2分)
由BM⊥A1C得,
•
=0,即2×2-4h=0
解得h=1(2分)
(2)由题意知,平面ABC的一个法向量为
=(0,0,1),
=(0,2,h)(2分)
因为直线AM与平面ABC所成的角为
,所以
=

则B(2,0,0),M(0,2,h),A1(0,0,4),C(0,2,0)(2分)
BM |
A1C |
由BM⊥A1C得,
BM |
A1C |
解得h=1(2分)
(2)由题意知,平面ABC的一个法向量为
n |
AM |
因为直线AM与平面ABC所成的角为
π |
4 |
| ||
2 |
h | |||||||||||
|
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