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(2010•浦东新区二模)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,M是侧棱CC1上一点,设MC=h.(1)若BM⊥A1C,求h的值;(2)若直线AM与平面ABC所成的角为π4,求

题目详情
(2010•浦东新区二模)直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,M是侧棱CC1上一点,设MC=h.
(1)若BM⊥A1C,求h的值;
(2)若直线AM与平面ABC所成的角为
π
4
,求多面体ABM-A1B1C1的体积.
▼优质解答
答案和解析
(1)以A为坐标原点,以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则B(2,0,0),M(0,2,h),A1(0,0,4),C(0,2,0)(2分)
BM
=(−2,2,h),
A1C
=(0,2,−4)(2分)
由BM⊥A1C得,
BM
A1C
=0,即2×2-4h=0
解得h=1(2分)
(2)由题意知,平面ABC的一个法向量为
n
=(0,0,1),
AM
=(0,2,h)(2分)
因为直线AM与平面ABC所成的角为
π
4
,所以
2
2
h
作业帮用户 2017-11-09
问题解析
(1)以A为坐标原点,以射线AB、AC、AA1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出
BM
A1C
,利用
BM
A1C
=0,求h的值;
(2)直线AM与平面ABC所成的角为
π
4
,多面体ABM-A1B1C1的体积,就是三棱柱的体积减去三棱锥M-ABC的体积,求解即可.
名师点评
本题考点:
棱柱的结构特征;组合几何体的面积、体积问题;直线与平面所成的角.
考点点评:
本题考查棱柱的结构特征,组合几何体的面积、体积问题,直线与平面所成的角,考查转化思想,计算能力,是中档题.
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