如图所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．

Question

如图所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．

Answer 1

证明：找到BC的中点H，连接MH，NH．如图：
∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=(1)/(2)EC．
∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=(1)/(2)BD．
∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；
∵MH∥EC，
∴∠HMN=∠PQA，（两直线平行，内错角相等）
同理∠HNM=∠QPA．
∴△APQ为等腰三角形，
∴AP=AQ．