如图，A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接CD、AE交于点P，并分别交BE、BD于N、M，连按MN，下列结论中：①AE=CD；②AM=DP；③MN∥AC；④若AB=2BC，连接DE，则DE⊥BE；⑤BP平分

Question

如图，A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接CD、AE交于点P，并分别交BE、BD于N、M，连按MN，下列结论中：①AE=CD；②AM=DP；③MN∥AC；④若AB=2BC，连接DE，则DE⊥BE；⑤BP平分∠APC；⑥将△BCE绕B点任意旋转到一个角度时，DN=AM总成立．正确的结论有___（填写出所有正确的序号）

Answer 1

∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE与△CBD中，

AB=BD

∠ABE=∠DBC

BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，故①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAP=∠BDC，
∵A、B、C在一条直线上，
∴∠DBN=180°-∠ABD-∠CBE=60°，
∴∠ABD=∠DBN，
在△ABM与△BDN中，

∠MAB=∠BDN

AB=BD

∠ABD=∠DBN

，
∴△ABM≌△DBN，
∴AM=DN，BM=BN，
∵DN>PD，
∴AM>PD，故②错误；
∵BM=BN，∠MBN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴∠MNB=60°，
∴∠MNB=∠NBC，
∴MN∥AC，故③正确；
取BD的中点O，连接EO，DE，
∵AB=2BC，
∴BD=2BE，
∴BE=BM=DM，
∵∠MBE=60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴EM=BM=DM，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BE；故④正确；
过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，
∴∠AHB=∠DGB=90°，
在△ABH与△DBG中，

∠BAH=∠BDG

∠AHB=∠DGB

AB=BD

，
∴△ABH≌△DBG，
∴BH=BG，
∴BP平分∠APC；故⑤正确；
∵当A、B、C在一条直线上时，∠ABM=∠DBN=60°，
∠DBE≠60°，则∠ABM≠∠DBN，
∴△ABM与△DBN不全等，
∴AM≠DN，故⑥错误．
故答案为：①③④⑤．