已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．（1）求证：∠1=∠2．（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；（3）△AEB是什么三角形？证明你的

Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．

（1）求证：∠1=∠2．
（2）过点M作AB的垂线交CD延长线于E，求证：CM=EM；
（3）△AEB是什么三角形？证明你的猜想．

Answer 1

证明：（1）Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AM=CM=BM，
∴∠CAB=∠ACM，
∴∠CAB=90-∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠BCH=90-∠ABC，
∴∠CAB=∠BCH，
∴∠BCH=∠ACM，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD-∠ACM=∠BCD-∠BCH，
即∠1=∠2；

（2）∵EM⊥AB，CH⊥AB，
∴EM∥CH，
∴∠HCD=∠MED，
∵∠HCD=∠MCD，
∴∠MCD=∠MED，
∴CM=EM；

（3）△AEB是等腰直角三角形，
∵CM=EM AM=CM=BM，
∴EM=AM=BM，
∴△AEB是直角三角形，
∵EM垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴△AEB是等腰三角形，
∴△AEB是等腰直角三角形．