在三棱锥D-ABC中,DA垂直平面ABC,AC=BC,角ACB=90度,角ABD=45度,求异面直线AB与CD所成的余弦值.

Question

在三棱锥D-ABC中,DA垂直平面ABC,AC=BC,角ACB=90度,角ABD=45度,求异面直线AB与CD所成的余弦值.

Answer 1

[首先要明白"三垂线定理":平面内一条直线,若垂直与平面外一条直线在该平面内的射影,则两条直线互相垂直.其逆命题也是正确的.]
取BD中点M,AD中点N,BC中点P.连结成△MNP,连结AP
则MN∥AB,MP∥CD(中位线定理)
∴∠NMP是异面直线AB与CD所成的角(或补角)
∵AD垂直平面ABC
∴AC是CD在平面ABC中的射影
∵BC垂直于AC,BC在平面ABC内
∴BC垂直于CD(三垂线定理)
设BC=2,则可根据已知和已证得各边长度.其中:MN=a=√2,MP=b=0.5*√10,AP=c=√7
∴cos∠NMP=(a^2+b^2-c^2)/2ab=√5/8(八分之根号5)