（2009•中山）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相

Question

（2009•中山）如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB₁C，对角线相交于点A₁；再以A₁B₁、A₁C为邻边作第2个平行四边形A₁B₁C₁C，对角线相交于点O₁；再以O₁B₁、O₁C₁为邻边作第3个平行四边形O₁B₁B₂C₁…依此类推．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB₁C，第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，AC=20，AB=12
∴∠ABC=90°，BC=√(AC2−AB2)=√(202−122)=16
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12×16=192．

（2）∵OB∥B₁C，OC∥BB₁，
∴四边形OBB₁C是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OC，
∴四边形OBB₁C是菱形．
∴OB₁⊥BC，A₁B=(1)/(2)BC=8，OA₁=(1)/(2)OB₁=√(OB2−A1B2)=6；
∴OB₁=2OA₁=12，
∴S_菱形OBB1C=(1)/(2)BC•OB₁=(1)/(2)×16×12=96；
同理：四边形A₁B₁C₁C是矩形，
∴S_{矩形A1B1C1C}=A₁B₁•B₁C₁=6×8=48；
‥‥‥
第n个平行四边形的面积是：Sn＝(192)/(2n)
∴S₆=(192)/(26)=3．