已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.（1）若

Question

已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上的两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.
已知 CD 是经过 ∠BCA 的顶点C 的一条直线,CA = CB ,E,F分别是直线 CD 上的两点,且 ∠BEC = ∠CFA = ∠α .（1）若直线 CD 经过 ∠BCA 的内部,且 EF 在射线 CD 上.请解决下面2个问题：①如图1 ,若 ∠BCA = 90°,∠α = 90°.证明 BE = CF ,EF = | BE-AF | .②如图2 ,若 0°＜ ∠BCA ＜180°,∠α + ∠BCA = 180 °.①中的两个结论仍然成立,证明这两个结论成立.（2）如图3 ,若直线 CD 经过 ∠BCA 的外部 ∠ α = ∠BCA ,请提出关于 EF ,BE ,AF 三条线段 数量关系 的合理猜想.

Answer 1

分析：（1）①由∠BCA=90°,∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACD=90°,可推得∠CBE=∠ACD,且已知CA=CB,∠BEC=∠CFA,所以△BEC≌△CDA,可得BE=CF,EC=AF；又因为EF=CF-CE,所以EF=|BE-AF|；
②只有满足△BEC≌△CDA,才有①中的结论,即∠BCE=∠CAF,∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°,可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°,即∠α+∠BCE+∠FCA=180°,即可得到∠α+∠BCA=180°．
（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得）,可得BE=CF,EC=AF,即可得到EF=EC+CF=BE+AF．
（1）①∵∠BCA=90°,∠α=90°,
∴∠CBE+∠BCE=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CBE=∠ACD,
在△BEC与△CDA中,
∵ ∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACD CA=CB   ,
∴△BEC≌△CFA（AAS）,
∴BE=CF,EC=FA,
∵EF=CF-CE,
∴EF=|BE-AF|；
②∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°,理由为：
∵∠α+∠BCA=180°,
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°,
∴∠α+∠BCE+∠CBE=180°,又三角形内角和等于180°,
∴∠CBE=∠ACD,又∠BEC=∠CFA,CA=CB,
∴△BEC≌△CFA（AAS）,
∴BE=CF,EC=FA,
∵EF=CF-CE,
∴EF=|BE-AF|；
则∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°；
（2）探究结论：EF=BE+AF,
证明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°,∠2+∠3+∠CFA=180°
又∵∠BCA=∠α=∠CFA,
∴∠1=∠3；
又∵∠BEC=∠CFA=∠α,CB=CA,
∴△BEC≌△CFA（AAS）,
∴BE=CF,EC=FA,
∴EF=EC+CF=BE+AF．