如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘

Question

如图，已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于

(π)/(3)

(π)/(3)

．

Answer 1

设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y＝kx−1

x2＝2py

，得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，kBP＝(y1−1)/(x1)，kBQ＝(y2−1)/(x2)，
k_BP+k_BQ=(kx1−2)/(x1)+(kx2−2)/(x2)
=(2kx1x2−2(x1+x2))/(x1x2)
=(2k•2p−2•2pk)/(2p)=0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
联立①②解得k_BP=√(3)，kBQ＝−√(3)，
所以∠BNM=(π)/(3)，∠BMN=(π)/(3)，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=(π)/(3)．
故答案为：(π)/(3)．