已知a＞b＞0，曲线C上任意一点P分别与点A（-a，0）、B（a，0）连线的斜率的乘积为-b2a2．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+h（k≠0，h≠0）与x轴、y轴分别交于M、N两点，若曲线C与直

Question

已知a＞b＞0，曲线C上任意一点P分别与点A（-a，0）、B（a，0）连线的斜率的乘积为-(b2)/(a2)．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+h（k≠0，h≠0）与x轴、y轴分别交于M、N两点，若曲线C与直线没有公共点，求证：|MN|＞a+b．

Answer 1

（Ⅰ）设曲线C上任意一点P的坐标为（x，y）．
依题意kPA•kPB＝(y)/(x+a)•(y)/(x−a)＝−(b2)/(a2)，
且x≠±a，…（3分）
整理得(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，
∴曲线C的方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1，x≠±a．…（5分）
（Ⅱ）证明：由

(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1

y＝kx+h

，得（b²+a²k²）x²+2a²hkx+a²（h²-b²）=0，
∴△=4a²h²k²-4（b²+a²k²）a²（h²-b²）＜0，
即b²+a²k²＜h²，…（7分）
由已知条件可知M（-(h)/(k)，0），N（0，h），
∴|MN|2＝(h2)/(k2)+h2＞(b2+a2k2)/(k2)+a2k2
=a2+b2

作业帮用户 2017-10-04 举报