详情请见这一题,习题答案是-π,可见两个人答得都是错的,第二位用高斯定律得I=∫∫∫（6x^2+6y^2+6z)dv=∫∫∫6dv=6v,v是曲面与z=0所围成的体积曲面是个圆抛物面v=∫πr^2dz积分区间是[0,1]r^2=x^2+y^

Question

详情请见这一题,习题答案是-π ,可见两个人答得都是错的,第二位用高斯定律得
I=∫∫∫（6x^2+6y^2+6z)dv=∫∫∫6dv=6v,v是曲面与z=0所围成的体积
曲面是个圆抛物面
v=∫πr^2dz 积分区间是[0,1]
r^2=x^2+y^2=1-z
v=π∫1-zdz=π（z-z^2/2)=π/2
I=6v=3π 我也是怎么做的,然后再减去添加封闭图像面积可算出来结果为0,求正解

Answer 1

补上平面∑1:z=0(x^2+y^2≤1),取下侧
∑与∑1上用高斯公式,等于∫∫∫(6x^2+6y^2+6z)dv,用柱面坐标,化成∫(0到2π)dθ∫(0到1)ρdρ∫(0到1-ρ^2) (6ρ^2+6z)dz,计算得2π
∑1上的曲面积分是∫∫(-3)dxdy,化成二重积分是∫∫3dxdy=3π
I=2π-3π＝-π