设函数F（u，v）具有一阶连续偏导数，且Fu（2，-6）=4，Fv（2，-6）=2，则曲面F（x+y+z，xyz）=0在点P（3，-2，1）处的切平面方程为．

Question

设函数F（u，v）具有一阶连续偏导数，且F_u（2，-6）=4，F_v（2，-6）=2，则曲面F（x+y+z，xyz）=0在点P（3，-2，1）处的切平面方程为______．

Answer 1

由F（x+y+z，xyz）=0知，确定一个隐函数z=z（x，y）
设u=x+y+z，v=xyz，则两边对x和对y求偏导，得
Fu•(1+(∂z)/(∂x))+Fv•(yz+xy(∂z)/(∂x))＝0
Fu•(1+(∂z)/(∂y))+Fv•(xz+xy(∂z)/(∂y))＝0
将F_u（2，-6）=4，F_v（2，-6）=2和点（3，-2，1），代入到上面两式，得
(∂z)/(∂x)|P＝0，(∂z)/(∂y)|P＝(5)/(4)
∴曲面在点P处的法向量平行于(0，(5)/(4)，−1)＝(1)/(4)(0，5，−4)
取法向量为（0，5，-4），则
所求的切平面的方程为5（y+2）-4（z-1）=0
即：5y-4z+14=0