高中数学（切线、函数）函数f(x)=ax^3+bx+c(a0)为奇函数,其图像在点（1,f(1)）处的切线与直线x-6y-7=0垂直,且f'(x)+16/m^2+4m^2>=4对任意m0恒成立.（1）求a,b,c的值（2）求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最

Question

高中数学（切线、函数）
函数f(x)=ax^3+bx+c(a0)为奇函数,其图像在点（1,f(1)）处的切线与直线x-6y-7=0垂直,且f'(x)+16/m^2+4m^2>=4对任意m0恒成立.
（1）求a,b,c的值
（2）求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值

Answer 1

∵f(x)为奇函数
∴c=0
x-6y-7=0 y=x/6-7/6 斜率k=1/6 与它垂直直线的斜率k′=-6
设(1,f(1))处的切线方程为y=k′x+b′=-6x+b′
f′(x)=3ax^2+b
f′(x)=3ax^2+b≥-12
f′(x)=3ax^2+b顶点的纵坐标为 (4a〃c〃-b〃^2)/4a〃=b(这个b是f′(x)中的b 前面的a〃b〃c〃是顶点纵坐标公式 其中a〃=3a b〃=0 c〃=b)
∵f′(x)的最小值为-12
∴a＞0 b=-12
f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率等于f′(1)=3a×1^2+b=3a+b=k′=-6
即 3a-12=-6
a=2
f′(x)=3ax^2+b=3×2 x^2-12=6x^2-12
f′(x)＞0 即6x^2-12＞0时 f(x)单调递增
f(x)的单调递增区间为(-∞,-√2)∪(√2,+∞)
f′(x)＜0 即6x^2-12＜0时 f(x)单调递减
f(x)的单调递减区间为(-√2,2)
函数在-√2左边递增右边递减 函数在x=-√2处取得极大值
同理在x=√2处取极小值
x∈[-1,3]时
f(x)在[-1,√2)上递减 在(√2,3]上递增
∵f(-1)=2×(-1)^3-12×(-1)=10＜f(3)=2×3^3-12×3=18
∴f(x)在[-1,3]上的最大值为f(3) 最小值为f(√2)